关于离散群的全形

离散群 $G$ 的全形（holomorph）是 $G$ 的泛半直积。在第 1 章我们描述它为何是有趣的对象并陈述主要结果。在第 2 章我们回顾全形的古典定义以及该泛性质，并给出全形的一些群论性质与例子。特别地，我们给出两个群的全形之间存在分裂扩张映射的充要条件。在第 3 章我们对每个素数 $p$ 构造 $Hol(Z_{p^r})$ 的一个分解（resolution），其中 ${\mathbb Z}_m$ 表示阶为 $m$ 的循环群，并用它计算 $Hol(Z_{p^r})$ 的整数同调与模 $p$ 上同调环。在第 4 章我们研究若干份 $Z_{p^r}$ 的直和的全形。我们将此全形识别为 $GL(n+1, Z_{p^r})$ 的一个良子群，因此其上同调提供了关于一般线性群上同调的信息，而这在该课题中一直引人关注。我们证明对 $H^*(Hol(\bigoplus_n Z_{p^r}); F_p)$ 的 LHS 谱序列在 $p^r\ge 8$ 时不在 $E_2$ 层坍缩。此外，我们计算由 $Ker (Hol(\bigoplus_n Z_{p^r}) \to Hol(\bigoplus_n Z_p))$ 给出的同余子群的模 $p$ 上同调与第一个 Bockstein 同态。在第 5 章我们回顾 wreath 积与可置换范畴，以及它们与全形的联系。在第 6 章我们给出由 S. Eilenberg 与 J. C. Moore 所得的著名事实的简短证明：群范畴中唯一的单射对象是平凡群。