完全不连通局部紧群的有理离散一阶上同调

众所周知，对于有限生成离散群 $G$，在 J.R. Stallings 意义下存在多于两个端点可由上同调群 $\mathrm{H}^1(G,R[G])$ 检测，其中 $R$ 是有限域、整数环或有理数域之一。我们将证明（参见定理 A*），对于紧生成完全不连通局部紧群 $G$，关于 $G$ 在 H. Abels 意义下端点数的相同信息可由 $\mathrm{dH}^1(G,\mathrm{Bi}(G))$ 给出，其中 $\mathrm{Bi}(G)$ 是 $G$ 的有理离散标准双模，且 $\mathrm{dH}^\bullet(G,\_)$ 表示文献[6]中引入的有理离散上同调。由此可得，有限射有限群图的基群类与有理离散上同调维数至多为 1 的紧呈现完全不连通局部紧群类一致（参见定理 B）。