拟线性抛物方程在自然指数处的梯度加权估计

在本文中，我们对非光滑域上 $q\geq p$ 的 Muckenhoupt 类 $A_{\frac{q}{p}}(\mathbb{R}^{n+1})$ 中带权重的拟线性抛物方程弱解的空间梯度获得了加权范数不等式。此处拟线性非线性以标准 $p$-Laplacian 算子为模型。迄今为止，梯度的所有加权估计仅对指数 $q>p$ 获得。对 $q>p$ 的结果使用了过去几十年发展的 Calder\'on-Zygmund 理论的完整复杂机制，但常数随 $q \rightarrow p$ 发散（本质上因为极大函数在 $L^1$ 上无界）。为了证明在自然指数即 $q=p$ 处梯度的加权估计，我们需要获得自然指数以下的改进先验估计。为此，我们基于 \cite{AdiByun2,KL} 发展了 Lipschitz 截断技术，并在自然指数以下获得了显著改进的估计。在此过程中，我们还获得了自然指数以下改进的、无权的 Calder\'on-Zygmund 型估计，这即使对线性方程也是新的。