树与双曲图上的 Glauber 动力学

我们研究具有 $n$ 个顶点且度数有界的有限图上带局部约束（例如正常着色、Ising 与 Potts 模型）的随机构型的连续时间 Glauber 动力学。我们证明在树和平面双曲图上该动力学的弛豫时间（定义为谱隙 $|\lambda_1-\lambda_2|$ 的倒数）关于 $n$ 是多项式的。对于这些双曲图，这给出了一个用于随机构型的通用多项式采样算法。进而我们证明若弛豫时间 $\tau_2$ 满足 $\tau_2=O(1)$，则任意局部函数（仅依赖于固定窗口内的构型）与边界条件之间的相关系数及互信息，随窗口与边界之间距离呈指数衰减。对于正则树上的 Ising 模型，该条件是紧的。