Cayley树上具有可数自旋值集的HC模型的Gibbs测度

本文研究了阶为 $k\geq 2$ 的 Cayley 树上具有可数自旋值集 $\mathbb Z$ 的 HC 模型。该模型由一组可数参数（即活度函数 $\lambda_i>0$，$i\in \mathbb Z$）定义。我们得到了一个提供有限维 Gibbs 分布一致性条件的函数方程。通过分析该方程，获得如下结果：- 令 $\Lambda=\sum_i\lambda_i$。当 $\Lambda=+\infty$ 时，不存在平移不变 Gibbs 测度（TIGM）且不存在二周期 Gibbs 测度（TPGM）；- 当 $\Lambda<+\infty$ 时，证明了 TIGM 的唯一性；- 令 $\Lambda_{\rm cr}(k)=\frac{k^k}{(k-1)^{k+1}}$。若 $0<\Lambda\leq\Lambda_{\rm cr}$，则恰有一个 TPGM，且其为 TIGM；- 当 $\Lambda>\Lambda_{\rm cr}$ 时，恰有三个 TPGM，其中一个为 TIGM。