周期三混合自旋 Ising 模型的划分 Gibbs 测度

我们考虑了一个阶数为 $k\ge1$ 的 Cayley 树 $\Gamma_k$ 上的 Ising 模型，包含三个取值为 $(\tfrac12,1,\tfrac32)$ 的自旋种类，这些自旋按照周期三沿代数层确定性分布。在划分 Gibbs 测度的框架下，我们推导了精确的边界律兼容方程，并通过一组有限的代数关系来表征 Translation-invariant splitting Gibbs measures(TISGMs)。在铁磁语境 $J>0$ 下，记 $\theta=\exp(\beta J/2)$，我们进一步将 Translation-invariant 问题化简为一个一维标量固定点方程 $x=f(x,\theta,k)$，其中 $f$ 为一个有理函数。我们证明了 $f$ 是严格递增的，并获得了一个足够的相容存续条件：若 $s_k(\theta)=f'(1,\theta,k)-1>0$，则 $x=f(x,\theta,k)$ 至少有三个互不相同的正解，从而产生至少三个不同的 TISGMs，从而导致由自旋结构周期性各向异性驱动的相变。对于二元树 $k=2$，我们利用吸引性质量构造加和减 Gibbs 测度作为具有极端边界条件的弱极限，证明它们分别对应于 $f(\cdot,\theta,2)$ 的最小和最大固定点，是自然随机顺序下的最小和最大 Gibbs 测度。最后，我们构造与 TISGM 关联的树索引马尔可夫链，并对无序 TISGM 应用 Kesten--Stigum 准则，识别出非极端且存在重构的非空参数区域。