Cayley 树上具外场的 SOS 模型的 Gibbs 测度

我们考虑 Cayley 树上度数为 $k$（有 $k+1$ 个邻居）的近邻固着在固体表面（SOS）模型，其具有若干自旋值 $0,1,\ldots,m,$ $m\geq2,$ 以及非零外场。我们旨在推广 \cite{rs} 的结果，其中 SOS 模型在（主要）三个自旋值和零外场下被研究。SOS 模型可视为 Ising 模型（当 $m=1$ 时得到）的自然推广。我们主要假设 $m=2$（三个自旋值）并研究平移不变（TI）与分裂（S）Gibbs 测度（GMs）。（分裂 GMs 具有树所特有的特定马尔可夫型性质。）对于 $m=2$，在反铁磁（AFM）情形下，对所有温度具外场的 TISGM 唯一。在铁磁（FM）情形下，对 $m=2,$ TISGM 的数量随温度和外场变化：这给出了一个有趣的相变例子。我们的第二个结果给出了度数为二的 Cayley 树上具外场的三态 SOS 模型的所有 TISGM 的分类。我们展示了在反铁磁相互作用情形下的唯一性，以及在铁磁相互作用情形下至多七个 TISGM 的存在性，其中相的数量取决于相互作用强度和外场。