$\mathbb R^n$ 中曲线的几何、奇异值分解与汉克尔行列式

设 $\gamma: I \rightarrow \mathbb R^n$ 为 $C^{n+1}$ 类参数曲线，阶 $n$ 正则。$\gamma$ 在 $\gamma(t)$ 处的 Frenet-Serret 装置由一个标架 $e_1(t), \dots , e_n(t)$ 和广义曲率值 $\kappa_1(t), \dots, \kappa_{n-1}(t)$ 组成。与 $\gamma$ 每一点相关联的还有局部奇异向量 $u_1(t), \dots, u_n(t)$ 和局部奇异值 $\sigma_1(t), \dots, \sigma_{n}(t)$。该局部信息通过考虑以 $\gamma(t)$ 为中心、半径 $\epsilon$ 的球内沿 $\gamma$ 定义的协方差矩阵在 $\epsilon$ 趋于零时的极限获得。我们证明了对每个 $t\in I$，Frenet-Serret 标架与局部奇异向量在 $\gamma(t)$ 处一致，且曲率函数在 $t$ 处的值可表示为 $t$ 处局部奇异值之比的固定倍数。更精确地，我们证明若对任意 $n\in\mathbb N$ 有 $\gamma(t)\subset \mathbb R^n$，则对 $2$ 到 $n$ 间的每个 $i$，$\kappa_{i-1}(t)=\sqrt{a_{i-1}}\frac{\sigma_{i}(t)}{\sigma_1(t) \sigma_{i-1}(t)}$，其中 $a_{i-1} = \left(\frac{i}{i+(-1)^i}\right)^2 {\frac{4i^2-1}{3}}$。为此，我们利用首一正交多项式与矩序列理论，证明了一类汉克尔行列式序列递推关系的一般公式。