球面上具有曲率约束的 $C^1$ 正则曲线空间

设 $\mathcal{P}_{\kappa_1}^{\kappa_2}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})$ 表示 $2$-球面 $\mathbb{S}^2$ 中起点和终点分别为给定点且对应 Frenet 标架为 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 的 $C^1$ 正则曲线集合，其切向量 Lipschitz 连续，且几乎处处存在的测地曲率在 $(\kappa_1, \kappa_2)$ 中本质有界，其中 $-\infty<\kappa_1<\kappa_2<\infty$。本文首先研究 $\mathcal{P}_{\kappa_1}^{\kappa_2}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})$ 中曲线的几何性质。我们引入 $C^1$ 正则曲线在任意点处的下曲率和上曲率的概念，并证明一条 $C^1$ 正则曲线属于 $\mathcal{P}_{\kappa_1}^{\kappa_2}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})$ 当且仅当其下曲率的下确界和上曲率的上确界约束于 $(\kappa_1,\kappa_2)$ 内。其次我们证明 $\mathcal{P}_{\kappa_1}^{\kappa_2}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})$ 上的 $C^0$ 与 $C^1$ 拓扑相同。进一步，我们证明 $\mathcal{P}_{\kappa_1}^{\kappa_2}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})$ 中的曲线可由微分方程 $\Phi'(t) = \Phi(t)\Lambda(t)$ 的解确定，其中 $\Phi(t)\in \textrm{SO}_3(\mathbb{R})$，且对 $\Lambda(t)\in\mathfrak{so}_3(\mathbb{R})$ 有特殊的约束，并给出 $\mathcal{P}_{\kappa_1}^{\kappa_2}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})$ 上的一个完备度量，使其成为一个（平凡的）Banach 流形。