活动标架与曲面上曲线的刻画

在这项工作中，我们关注属于给定曲面的曲线的刻画。据我们所知，该问题尚无已知的一般解。事实上，仅对少数例子（平面、球面或柱面）存在解。通常，此类曲线在欧氏空间（$E^3$）和洛伦兹-闵可夫斯基空间（$E_1^3$）中的刻画涉及一个关联曲率与挠率的常微分方程（ODE）。然而，通过为曲线装备相对平行移动标架，Bishop能够通过关联决定标架运动的系数的线性方程来刻画$E^3$中的球曲线。在此，我们将这些思想应用于由光滑函数隐式定义的曲面$\Sigma=F^{-1}(c)$，通过在由$F$的Hessian给出的度量（不总是正定）的背景下重新解释该问题。因此，我们自然地被引导至$E_1^3$中曲线的研究。我们通过利用由曲线的因果特征诱导的法平面结构，发展了构造Bishop标架的系统方法，给出了$E_1^3$中球曲线的完整刻画，并将其应用于刻画属于非退化欧氏二次曲面的曲线。我们还解释了当从$E^3$过渡到$E_1^3$时曲线可能具有的因果特征，并最终建立了曲线位于光滑函数水平曲面上的判据，当Hessian为常数时该判据化为线性方程。