空间曲线的顶点与焦曲率

欧几里得空间 $\R^{m+1}$ 中浸入光滑曲线 $\gamma:s\mapsto \gamma(s)$ 的{\em 焦曲线}（focal curve）由其密切超球面的球心构成。焦曲线可用 $\gamma$ 的 Frenet 标架（${\bf t},{\bf n}_1, ...,{\bf n}_m$）参数化为 $C_\gamma(s)=(\gamma+c_1{\bf n}_1+c_2{\bf n}_2+...+c_m{\bf n}_m)(s)$，其中系数 $c_1,...,c_{m-1}$ 为光滑函数，我们称之为 $\gamma$ 的{\em 焦曲率}（focal curvatures）。我们发现了一个将 $\gamma$ 的欧几里得曲率 $\kappa_i$（$i=1,...,m$）与其焦曲率关联起来的显著公式。我们证明焦曲率满足一个 Frenet 方程组（非向量式，而是标量式！）。我们利用焦曲率的性质，对 $k=1,...,m$，给出 $\gamma$ 的密切 $k$ 维球半径取极值当且仅当其满足的必要条件与充分条件。我们也给出 $\gamma$ 上一点为顶点当且仅当其满足的必要条件与充分条件。最后，我们明确给出了 $\gamma$ 的 Frenet 标架与欧几里得曲率同其焦曲线 $C_\gamma$ 的 Frenet 标架与欧几里得曲率之间的关系。