关于 $2$ 维空间中的凸曲线 evolutoid 的一些结果

设 $M_c$ 为常值曲率 $c=-1,0,1$ 的 $2$ 维空间形式，$\gamma$ 为 $M_c$ 中的光滑闭合凸曲线。我们对 $\gamma$ 的 \textit{$\alpha$-evolutoid} 进行显式参数化，即描述所有测地线 $\sigma_s=\sigma_s(t)$ 的包络曲线 $\gamma_\alpha$，其中 $\sigma_s(0)=\gamma(s)$ 且 $\sphericalangle(\sigma_s'(0),\gamma'(s))=\alpha$，固定 $\alpha \in[0,\pi/2]$，并确定其长度。此外，我们推导出对于每个 $s$，点 $\gamma(s),\gamma_\alpha(s),\gamma_{\pi/2}(s)$ 属于不同的测地圆。计算了 $\gamma_\alpha$ 的光滑性约束，并利用奇点理论工具，我们证明其奇点呈现出 cusp 特征，这模仿平面情况下的经典 evolute ($\alpha=\pi/2$)。此外，我们定义 $M_c$ 中给定曲线 $\eta$ 的 \textit{$\alpha$-involutoids} 为任何曲线 $\gamma$，使得 $\gamma_\alpha=\eta$，并研究其一些性质。特别是，我们证明任何凸闭曲线在 $M_{-1,0}$ 中都恰好关联到自己一个闭合的 $\alpha$-involutoid。最后，我们表明 evolutoids 可作为 wavefront 的奇点集来观察。