空间多边形与空间曲线的渐屈线迭代

在 $m$ 维欧几里得空间中，光滑曲线的渐屈线是其密切球面中心的轨迹，而空间多边形的渐屈线是一个多边形，其相邻顶点是通过原多边形相邻 $(m+1)$ 元组顶点的球面的中心。我们研究了这些渐屈线变换的迭代。本研究延续了近期对二维类似问题的研究，参见 arXiv:1510.07742。以下是我们的部分结果：在平行平移的意义下，具有固定边方向的 $n$ 边形集合构成一个 $(n-m)$ 维向量空间，且第二次渐屈线变换是该空间上的线性映射。若 $n=m+2$，则第二次渐屈线与原多边形位似；若 $n=m+3$，则第一次与第三次渐屈线位似。一般而言，第二次渐屈线映射的每个特征值均具有二重数。我们还研究了三维欧几里得空间中带尖点的曲线及其渐屈线。我们给出了针对多边形所获结果的连续类比，并展示了一类与其第二次渐屈线位似的曲线；这些曲线是经典内摆线的空间类比。