凸体的拓扑分类

由质心测量的欧几里得距离所描述的具有非退化临界点的均匀、一般光滑凸体的形状，代表了 $S^2$ 上一类相当受限的 Morse-Smale 函数类 $M_C$。在此我们证明，即使 $M_C$ 也展现出 $S^2$ 上一般 Morse-Smale 函数所具有的复杂性，即穷尽了所有组合可能性：球面的每种二色四边形剖分都同构于与 $M_C$ 中函数相关联的适当表示的 Morse-Smale 复形（反之亦然）。我们通过一种归纳算法证明了这一主张，该算法从路径图 $P_2$ 开始，通过对表面进行保持凸性的局部操作执行每种组合上可能的顶点分裂，从而生成对应于顶点数递增的四边形剖分的凸体。由于存在携带同构于 $P_2$ 的 Morse-Smale 复形的凸体，该算法不仅证明了我们的主张，还推广了文献 [36] 中已知的分类方案。我们的扩展算法本质上是 Edelsbrunner 等人在文献 [21] 中提出的算法的对偶过程，后者生成了日益粗糙的 Morse-Smale 复形层次结构。我们指出了其在鹅卵石形状研究中的应用。