代数超曲面欧氏距离函数的 Morse 理论

设 $Y\subseteq \mathbb{R}^n$ 为闭可定义子集，$X\subseteq \mathbb{R}^n$ 为光滑流形。我们构建了从 $Y$ 出发的欧氏距离函数限制在 $X$ 上的 Morse 理论版本。这是通过利用 Lipschitz 函数的临界点概念并应用连续选择理论完成的。在该理论中，非退化临界点具有两个指标：二次型指标（如经典 Morse 理论所示）和分段线性指标（与瓶颈概念相关）。该框架足够灵活，可同时处理并统一计算代数几何中两个感兴趣的情形：瓶颈问题和最近点问题。我们提供了一套技术工具集，保证了该理论在 $X, Y$ 为一般代数超曲面情形下的适用性，并用它来限制从 $Y$ 到 $X$ 的距离函数的临界点数量，以及其他应用。