凸体形状的双曲几何

我们利用内蕴面积在 $n$ 维欧几里得空间中凸体的位似类空间上定义一种距离，使其等距于无穷维双曲空间的一个凸子集。其环境的洛伦兹结构是可凸体内蕴面积形式的推广，而 Alexandrov--Fenchel 不等式被解释为洛伦兹反向 Cauchy--Schwarz 不等式。我们推得凸体的相似类空间具有适当的测地距离，其曲率由 $-1$ 从下方控制（在 Alexandrov 意义下）。在维数 $3$ 时，该空间同胚于 $2$-球面上具有非负曲率的度量空间，而后一空间包含 W.P.~Thurston 所考虑的 $2$-球面上的平坦度量空间。Thurston 的距离与面积距离都依赖于面积形式。因此后者可被视为 Thurston 构造的“实部”的推广。