用于持续同调的曲面距离函数广义莫尔斯理论

本文汇集三种不同理论，旨在量化具有复杂形态的形状纹理。距离场是形状表示中的核心对象，而拓扑数据分析利用代数拓扑刻画形状中的几何与拓扑模式。该方法中最著名且应用最广的工具是持续同调，它以条形码形式动态追踪拓扑特征的演化。莫尔斯理论是微分拓扑中研究流形上函数临界点的框架，已被用于刻画持续同调特征的生灭。然而，莫尔斯理论的一个显著局限是它无法轻易应用于距离函数，因为距离函数缺乏莫尔斯理论所需的光滑性。我们为解决此问题的贡献有两点。首先，我们将莫尔斯理论推广到具有光滑边界的有界集的欧氏距离函数。我们特别关注用于形状表示的距离场，并研究由带符号距离函数诱导的子水平集过滤下的形状纹理持续同调。我们利用横截性理论证明，对于光滑紧致曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中的一般嵌入，带符号距离函数具有有限多个非退化临界点。这引出我们的第二点贡献：形状与纹理现在均可在持续同调的语言下被量化与严格刻画：一般形状的带符号距离持续模容许有限的条形码分解，其生灭点可被分类并作几何描述。我们利用该方法在模拟数据与真实生物血管数据上量化形状纹理。