混合分数布朗运动上的几何粗糙路径

本文建立了混合分数布朗运动（MFBM）及其广义多分量扩展的几何粗糙路径的完整理论。我们证明，对于形如 $M_t^H(a) = \sum_{k=1}^N a_k B_t^{H_k}$ 且 $\min\{H_k\} > \frac{1}{4}$ 的广义 MFBM，存在一个通过与二进逼近相关的光滑粗糙路径的极限得到的典范几何粗糙路径。这将 Coutin 和 Qian \cite{coutin2002} 关于单分数布朗运动的经典结果推广到混合情形。我们提供了 $p$-变差范数的显式界，并建立了 Skorohod 积分表示，将我们的路径构造与 Malliavin 微积分框架联系起来。此外，我们展示了 MFBM 驱动的粗糙微分方程的应用，使得 Lyons 的通用极限定理可用于此类过程。最后，我们研究了 MFBM 路径的签名，提供了其几何性质的完整代数刻画。我们的方法统一了多个分数分量的处理，揭示了不同正则性尺度之间的基本相互作用，完成了混合分数过程的粗糙路径基础，在随机分析等领域有应用。