Hurst 指数 $H>1/4$ 的分数布朗运动的随机微积分：一种解析延拓的粗糙路径方法

具有 Hurst 指数 $\alpha$（$\alpha\in(0,1)$）的 $d$ 维分数布朗运动（简称 FBM）$B_t=((B_t^{(1)},...,B_t^{(d)}),t\in\mathbb{R})$ 是一个 $d$ 维零均值、自相似高斯过程，其协方差为 ${\mathbb{E}}[B_s^{(i)}B _t^{(j)}]={1/2}\delta_{i,j}(|s|^{2\alpha}+|t|^{2\alpha}-|t-s|^{2 \alpha})$。关于定义相对于 FBM 的随机积分（以及相关的由 FBM 驱动的随机微分方程求解问题）这一长期问题，已通过若干不同方法成功解决，尽管在每种情况下都对 $d$ 或 $\alpha$ 的范围有所限制。$\alpha={1/2}$ 的情形对应于通常相对于布朗运动的随机积分，而当 $\alpha$ 低于各种阈值时，由于轨迹随着 $\alpha\to0$ 越来越不规则，大多数计算变得奇异。我们在此提供一种对任意 $d$ 和 $\alpha>{1/4}$ 都有效的新方法：构造 FBM 的一个逼近 $\Gamma(\varepsilon)_t$（$\varepsilon\to0$），其允许定义迭代积分，然后应用几何粗糙路径理论。该逼近依赖于在割平面 $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ 上解析过程 $\Gamma_z$ 的定义，其中 FBM 表现为其边界值，并允许我们非常精确地理解著名的（见 \citeCQ02）但迄今有些神秘的 L\'evy 面积在 $\alpha\to{1/4}$ 时的发散。