温带分数布朗运动的规范粗路径: 存在性、构造与应用

我们构造了 d 维温带分数布朗运动 (tfBm) 的规范几何粗路径, 适用于任意 Hurst 参数 $H > 1/4$ 和温和参数 $\lambda > 0$。主要挑战源于 tfBm 协方差的非齐次性质, 其在小尺度表现为幂律结构, 在大尺度表现为指数衰减。我们的主要贡献是对该协方差进行细致分析, 证明其具有有限的 2D $\rho$ 变差, 其中 $\rho = 1/(2H)$。这验证了 Friz 和 Victoir 的判据, 保证粗路径提升的存在。我们通过 $L^2$ 极限提供了粗路径 $\mathbf{B}_{H,\lambda} = (B_{H,\lambda}, \mathbb{B}_{H,\lambda})$ 的显式构造, 建立了其基本性质并给出明确常数 $C(H,\lambda,T)$。直接的后果包括: (i) 对积分 regime 的完整特征, Young 积分适用于 $H > 1/2$, 粗路径理论在 $H \in (1/4, 1/2]$ 中是必要且充分的; (ii) 由 tfBm 激动的粗微分方程的良好性, 以及收敛率为 $\bigO(n^{-H})$ 的 Milstein 类型数值方案; (iii) tfBm 签名微积分的基础, 包括签名的存在性和阶乘衰减。边界情形 $H = 1/2$ 被专门处理, 恢复 Ornstein--Uhlenbeck 过程的 Stratonovich 提升, 当 $\lambda \to 0^+$ 时, 恢复经典 Ito 积分。数值实验确认理论收敛率 $\bigO(N^{-2H})$ 用于 Lévy 区域逼近和 $\bigO(n^{-H})$ 用于 Milstein 方案。本工作为 tfBm 的随机微积分提供了首个完整的路径框架。