分数布朗运动路径积分的统一表示

分数布朗运动（fBm）是一种在实验中具有重要意义、具有非马尔可夫性的高斯随机过程，其增量间存在长程关联，由所谓的赫斯特指数 $H$ 参数化；根据该指数取值的不同，该过程可以是亚扩散的 $(0 < H < 1/2)$、扩散的 $(H = 1/2)$ 或超扩散的 $(1/2 < H < 1)$。存在三种同样常用的 fBm 替代定义——分别由 L\'evy 以及由 Mandelbrot 和 van Ness（MvN）给出，它们的时间变量形式定义区间不同。相应地，这些 fBm 的协方差函数具有不同的函数形式。此外，MvN fBm 具有平稳增量，而 L\'evy fBm 则并非如此。因此，人们可能会认为这些实际上是不同的过程，只是偶然拥有相同的名称。最近确定的显式路径积分表示也呈现出非常不同的函数形式，这进一步强化了后一结论。在此，我们基于 Riemann-Liouville 分数积分，发展出一种统一等价的路径积分表示，将三种 fBm 联系起来，并证明它们确实属于同一族。我们表明，在此表示中，三种情形下的作用量均涉及相同形式与阶数（取决于 $H < 1/2$ 或 $H > 1/2$）的分数积分，仅积分限不同。