基于傅里叶正规序的任意 Hurst 指数多维分数布朗运动的粗糙路径

傅里叶正规序 \cite{Unt09bis} 是一种新算法，用于在任意 H"older 连续多维路径上构造显式粗糙路径。在本文中，我们通过正则化 \cite{Unt08} 中定义的 $B$ 的解析近似的迭代积分，将傅里叶正规序算法应用于构造具有任意 Hurst 指数 $\alpha$（特别是对于 $\alpha\le 1/4$，这至今仍是一个开放问题）的多维分数布朗运动 $B$ 上的显式粗糙路径。该正则化过程被应用于通过置换积分顺序使得最内层积分具有最高傅里叶模式而获得的“傅里叶正规序”迭代积分。该粗糙路径的代数性质最好使用两个 Hopf 代数来理解：用于乘法或 Chen 性质的带装饰根树的 Hopf 代数 \cite{ConKre98}，以及用于几何或 shuffle 性质的 shuffle 代数。该粗糙路径存在于整数阶的高斯混沌中，并被证明具有有限矩。众所周知，粗糙路径的构造是定义随机微积分和求解由 $B$ 驱动的随机微分方程的关键。文章 \cite{Unt09ter} 对该方法给出了快速概述。