Banach 代数中的广义 Hirano 逆

设 $A$ 为 Banach 代数，我们称 $a\in A$ 具有广义 Hirano 逆，如果存在某个 $b \in A$ 使得 $b=b.a.b, a.b=b.a$ 且 $a-a^2.b$ 是拟幂零的，当且仅当存在某个 $p=p^3\in A$ 使得 $a-p$ 是拟幂零的。