投影算符及其在自由酉 Brown 运动下的像的一般位置

给定一个正交投影 P 和一个自由酉 Brown 运动 Y = (Y_t)_{t ≥ 0}，它们位于一个 W* 非交换概率空间中，且 Y 与 P 在 Voiculescu 意义下是 *-自由的，本文的主要结果指出，P 与 Y_t P Y_t* 在任意时刻 t 均处于一般位置。为此，我们研究了酉算子 S Y_t S Y_t* 的动力学，其中 S = 2P - 1。更确切地说，我们推导了其谱分布（记为 μ_t）的 Herglotz 变换所满足的一个偏微分方程。然后，我们在区间 [-1,1] 上给出一个流，使得 μ_t 的 Herglotz 变换与该流复合后，由初始（t=0）分布和稳态（t=∞）分布的 Herglotz 变换共同控制。这一事实使我们能够计算 μ_t 赋予 z=1 的权重，从而得到主要结果。作为副产品，自由 Jacobi 过程的谱分布赋予 x=1 的权重在归一化后随之得出。在本文的最后部分，我们利用非交叉划分的组合数学，分析了 S Y_t S Y_t* 的 n 阶矩展开式中对应于指数衰减 e^{-nt} 的项。