关于自由 Jacobi 过程的谱分布

在本文中，我们关注自由 Jacobi 过程，该过程起始于其取值的压缩概率空间的单位元，并与参数值 $\lambda=1, \theta =1/2$ 相关联。首先，我们推导了该过程矩的时间依赖递推方程（适用于任意起始点和所有参数值）。其次，我们将该方程转换为矩生成函数的非线性偏微分方程，并在 $\lambda = 1, \theta =1/2$ 时求解。所得解结合巧妙的计算得出了矩的显式表达式，表明自由 Jacobi 过程在任意时刻 $t$ 的分布为 $(1/4)(2+Y_{2t}+Y_{2t}^{\star})$，其中 $Y$ 是自由酉布朗运动。在证明了如果 $a$ 是一个与 $\{Y, Y^{\star}\}$ 自由的对称伯努利随机变量，则 $Y_{2t}$ 的分布与 $aY_taY_t^{\star}$ 的分布重合后，我们利用枚举技术恢复了该表达式。最后，我们通过研究与一般参数集相关的谱分布来结束本文。