等秩投影的自由Jacobi过程的谱分布

自由Jacobi过程是非交换概率空间中自由酉布朗运动被两个自由正交投影压缩的径向部分。本文推导了与具有相同秩$\alpha \in (0,1)$的投影相关联的自由Jacobi过程的谱性质。首先，我们确定了其谱分布的矩母函数所满足的偏微分方程的特征曲线。由此，对于任意固定时间$t >0$，得到了该函数在原点邻域内的表达式，从而推广了我们先前对$\alpha = 1/2$成立的结果。此外，所得特征曲线由自由酉布朗运动谱分布的$\chi$-变换的组合逆的$\alpha$-变形编码。在这方面，我们研究了该变形的映射性质，并使用鞍点法证明，对于足够大的时间$t$，自由酉布朗运动$\chi$-变换的$\alpha$-变形的组合逆在开单位圆盘内解析。论文的最后部分致力于T. Kunisky在文献\cite{Kun}中最近指出的一个恒等式的动态版本。实际上，该恒等式分别联系了参数集$(\alpha, \alpha)$和$(1/2,\alpha)$对应的自由Jacobi过程的平稳分布，我们解释了它如何源于Nica-Speicher半群。我们的动态版本则联系了有限时间谱分布密度的Cauchy-Stieltjes变换的偏微分方程。它还提出了一个问题：当压缩投影的秩为$1/2$时，是否存在Nica-Speicher半群的动态类比。