自由酉布朗运动的求和及其在量子信息中的应用

受量子信息理论启发，我们引入一种由 $k \geq 2$ 个独立酉布朗运动之和构造的动力学随机态。在大维数极限下，其谱分布（至多相差一个归一化因子）等于与迹为 $1/k$ 的单个自伴投影相关联的自由 Jacobi 过程的谱分布。利用自由随机微积分，我们将该等式推广到 $k$ 个自由酉布朗运动的自由平均的径向部分，以及推广到与两个迹为 $1/k$ 的自伴投影相关联的自由 Jacobi 过程（前提是初始分布一致）。在单投影情形，我们导出自由 Jacobi 过程矩的二项型展开，将 \cite{DHH} 在特例 $k=2$ 中导出的展开推广到任意 $k \geq 3$。由此产生一个非正规（除 $k=2$ 外）算子，它源于将一个自伴投影拆分为 $k$ 个酉算子的凸和。该二项展开随后被用于导出此非正规算子的矩生成函数的偏微分方程，并确定了相应的特征曲线。