$G_2$ 与 6 维平方下的最大对称 (3, 8) 分布

1910 年，Élie Cartan 首次将异常 Lie 群 $G_2$ 的半实数形式作为 5 维流形上最大对称秩 2 分布的对称群识别出来。本文我们发现 $G_2$ 在分布的几何理论中以一种新形式出现，这源于 8 维流形上秩 3 分布且具有增长向量 $(3,6,8)$ 的情况。在该分布的任意点处，微分对称性代数的维数为 29，且同构于 $(\mathfrak{g}_2 \oplus \mathbb{R}) \ltimes W$，其中 $\mathfrak{g}_2$ 为 $G_2$ 的 Lie 代数，$W$ 为 $\mathfrak{g}_2$ 的一个 adjoint 模块。我们的模型具有三个显著性质：首先，在所有具有 6 维平方的秩 3 分布中，它是最大对称的（包含 (3,6,8) 和 (3,6,7,8) 分布的家族中）。据我们所知，这是第一个在增长向量族中实现最大对称性的例子，其增长向量并非最长。其次，本模型提供了关于所有具有 6 维平方的秩 3 分布在一般点处是否具有最大类（已知在 6 和 7 维中成立）的猜想的第一个反例。第三，进一步的分析得出，该模型的所有异常极端轨迹在起源于流形任意点的地方具有至少 2 的余维。这据我们所知是已知在给定秩和环境维数下具有一般小增长向量的分布中第一个具有此性质的例子。我们还给出了本模型关于 split-octonions 的解释，更准确地说，是关于 split-octonions 切丝束上自然代数结构的解释。