通过射影和乐研究近 Kähler 几何与 (2,3,5)-分布

我们证明，任何 6 维近 Kähler（或近 para-Kähler）几何均可作为配备 $\textrm{G}_2^{(*)}$ 和乐约化的射影流形而产生。反之，我们证明如果一个射影流形在其标准 tractor 丛上配备了一个平行的 7 维叉积，那么该流形是：若叉积是正定的，则为黎曼近 Kähler 流形；否则，若叉积具有其他代数类型，则该流形通常被分层，其近 Kähler 部分和近 para-Kähler 部分由一个超曲面分隔，该超曲面规范地携带一个 Cartan $(2,3,5)$-分布。该超曲面是流形其他位置上伪黎曼几何的射影无穷远点，我们建立了如何明确地理解 Cartan 分布，以及如何从共形几何的角度将其理解为环境近 (para-)Kähler 结构的极限。任何实解析 $(2,3,5)$-分布都被视为由此类极限产生，因为我们可以求解几何 Dirichlet 问题，构建一个配备所需和乐约化射影结构的领状结构（collar structure）。这些结构的模型几何由虚（分裂）八元数的射影化提供。我们的方法是利用 Cartan/tractor 理论提供该几何的弯曲版本，这将虚（分裂）八元数代数的弯曲版本编码为其射影化上的平坦结构。利用这一视角，我们建立了关于近 (para-)Kähler 流形射影紧化的详细结果，包括几乎 (para-) 复结构和度量如何沿奇异超曲面光滑退化以在该处产生分布。