关于某些类的 $Sp(2,R)$ 对称 $G_2$ 结构

我们在七维中找到了两类不同的 $Sp(2,R)$ 对称 $G_2$ 结构。这些是具有 $G_2$ 为单例外复李群 $G_2$ 的分裂实形式的 $G_2$ 结构。第一族满足 $\tau_2\equiv 0$，而第二族满足 $\tau_1\equiv\tau_2\equiv 0$。这两族的不同之处在于：第一族存在于齐性空间 $Sp(2,R)/SL(2,R)_l$ 上，第二族存在于齐性空间 $Sp(2,R)/Sl(2,R)_s$ 上。这里 $SL(2,R)_l$ 是对应于 $\mathfrak{sp}(2,R)$ 根图中长根的 $\mathfrak{sl}(2,R)$ 的 $SL(2,R)$，而 $SL(2,R)_s$ 是对应于 $\mathfrak{sp}(2,R)$ 根图中短根的 $\mathfrak{sl}(2,R)$ 的 $SL(2,R)$。