$\text{SU}(2)^2$-不变余齐次一维流形上的余闭 $G_2$-结构

我们考虑两种不同的 $\text{SU}(2)^2$-不变余齐次一维流形，一种非紧的 $M=\mathbb{R}^4 \times S^3$ 与一种紧的 $M=S^4 \times S^3$，并研究由半平坦 $\text{SU}(3)$-结构构造的余闭 $\text{SU}(2)^2$-不变 $G_2$-结构的存在性。对于 $\mathbb{R}^4 \times S^3$，我们证明存在一个由三个光滑函数满足奇异轨道附近特定边界条件及一个非零参数给出的余闭（但不一定无挠）$G_2$-结构族。此外，任何由半平坦 $\text{SU}(3)$-结构构造的余闭 $G_2$-结构都属于该族。对于 $S^4 \times S^3$，我们证明不存在由半平坦 $\text{SU}(3)$-结构构造的 $\text{SU}(2)^2$-不变余闭 $G_2$-结构。