$G_2$ 流形的代数拓扑

本文综述了关于与例外李群 G_2 相关的定向 Grassmann 丛拓扑的各种结果。其中部分结果是新的。我们在此给出了自包含的证明。人们在研究具有校准几何的流形的子流形时，经常会遇到这些空间。为了完整性，我们决定以自包含的方式将它们收集于此，以便于未来在校准几何中使用。作为一个应用，我们推导出了具有特殊性质的 $G_2$ 流形中某些特殊 3 维和 4 维子流形的存在性，这些子流形出现在第一作者与 S. Salur 关于 $G_2$ 对偶性的工作中。