波动力学方程的完整推导

我们在动力学时间尺度下，在描述极限过程的特定标度律下，从三次非线性薛定谔（NLS）方程严格推导了波动力学方程。这解决了波湍流理论（即非线性波系统的动力学理论）中的一个主要猜想。我们的结果是 Lanford 从粒子系统推导玻尔兹曼动力学方程定理的波动类比，其中两种情况都取热力学极限，即系统尺寸发散至无穷，且波的交互强度或粒子半径按特定标度律（粒子情形为 Boltzmann-Grad）消失至 $0$。更精确地，在维数 $d\geq 3$ 中，我们考虑边长为 $L$ 的大盒子中的（NLS）方程，其弱非线性强度为 $\alpha$。在极限 $L\to\infty$ 与 $\alpha\to 0$ 下，按标度律 $\alpha\sim L^{-1}$，我们表明（NLS）的长时间行为在直至 $O(1)$（即独立于 $L$ 与 $\alpha$）倍的动力学时间尺度 $T_{\text{kin}}\sim \alpha^{-2}$ 内，由波动力学方程以充分合理的近似统计描述。这是任一非线性色散系统的首个此类结果。