关于一类随机 KdV 型方程的波湍流理论

从随机 Zakharov-Kuznetsov 方程（超立方格点上的多维 KdV 型方程）出发，我们给出了 3-波动力学方程的推导。我们证明在非常一般的假设下，两点相关函数可在动力学极限下渐近表示为 3-波动力学方程的解：初始条件偏离平衡、维数 $d\ge 2$、非线性的小量 $\lambda$ 允许独立于格点大小、弱噪声被选择为不与弱非线性竞争且不向方程注入能量。与三次非线性 Schr\"odinger 方程（通常预期在无噪声时也有此类一般结果）不同，确定性格点 ZK 方程的动力学描述不太可能发生。关键原因之一是格点 ZK 方程的色散关系导致一个奇异流形，在其上不仅允许 $3$-波相互作用，而且允许所有 $m$-波相互作用（$m\ge3$）发生。这一现象首先由 Lukkarinen \cite{lukkarinen2007asymptotics} 观测到，作为一个反例，表明从波动方程推导动力学方程的主要工具之一（交叉抑制）不成立。据我们所知，该工作提供了非线性 3-波动力学方程的首次严格推导。这也是格点设定和非平衡情形下波动力学方程的首次推导。