论NLS波动力学方程的推导

波湍流理论中的一个基本问题是如何理解“波动力学方程”(WKE)描述其相关非线性色散方程的长时间动力学。物理学文献中的形式化推导可追溯到1928年Pieirls的工作。对于三次非线性薛定谔方程，人们期望这样的动力学描述应在如下极限 regime 成立：域的大小$L$趋于无穷，非线性强度$\alpha$趋于0（弱非线性），在动力学时间尺度$T_{\mathrm{kin}}=O(\alpha^{-2})$。在本文中，我们研究这一宏大论断的严格证明，并表明答案似乎依赖于所取的特定“标度律”，即$(\alpha, L)$极限的取法，其精神类似于推导玻尔兹曼方程时所施加的Boltzmann-Grad标度律。特别地，存在两种有利的标度律：当$\alpha$以$L^{-\varepsilon+}$或$L^{-1-\frac{\varepsilon}{2}+}$方式趋于$0$（对任意小$\varepsilon$），我们通过证明相关的费曼图展开绝对收敛（作为配对树的求和）而给出直至时间尺度$O(T_{\mathrm{kin}}L^{-\varepsilon})$的波动力学方程。对于其他标度律，我们在时间尺度$T_*\ll T_{\mathrm{kin}}$证明动力学描述的起始，并识别出在超出$T_*$的时间变得非常大的特定相互作用。特别地，相关的树展开在那里绝对发散。鉴于这些相互作用，对此类标度律将动力学描述从$T_*$扩展到$T_{\mathrm{kin}}$似乎需要新的方法和思想。