一维波动动力学理论

尽管波动动力学方程已在维度 $d \geq 2$ 下被严格推导，但维度 $d = 1$ 下的波湍流物理和数学理论仍不甚明了。在此，我们研究长度为 $L$ 的大区间上、非线性强度为 $\alpha$ 的一维 MMT (Majda, McLaughlin, and Tabak) 模型，并限制在非线性项中不含导数的情况。此处的色散关系为 $|k|^\sigma$，其中 $0 < \sigma \leq 2$ 且 $\sigma \neq 1$，当 $\sigma = 2$ 时，MMT 模型特化为三次非线性薛定谔 (NLS) 方程。在 $1 < \sigma \leq 2$ 的范围内，动力学方程中提出的碰撞核是平凡的，这引出了在该设定下合适的动力学理论是什么的问题。在本文中，我们研究了在不同标度律 $\alpha \sim L^{-\gamma}$ 下的动力学极限 $L \to \infty$ 和 $\alpha \to 0$，并展示了在时间尺度 $T \sim L^{-\epsilon}\alpha^{-\frac{5}{4}}$（或 $T \sim L^{-\epsilon} T_{\mathrm{kin}}^{\frac{5}{8}}$）内的波动动力学方程。在碰撞核平凡的情况下，我们的结果表明，在时间尺度 $T_{\mathrm{kin}}$ 内，二阶矩不可能存在非平凡动力学。