关于齐次动力学波方程的推导

考虑了以随机高斯场为初值、处于弱非线性 regime 下的非线性薛定谔方程。问题设定在任意大于二维的环面上。统计物理中的一个猜想是,存在一个依赖于数据的频率局部化与非线性强度的动力学时间尺度,在该尺度上傅里叶模模平方的期望按照一个有效方程演化:即所谓的动力学波方程。当我们的设定中动力学时间为 $1$ 时,我们在任意小的多项式损失下证明该猜想。当动力学时间大于 $1$ 时,我们在一个更受限的时间尺度上获得其有效性。证明的关键思想是在构造近似解和研究其非线性稳定性时都使用费曼相互作用图。我们在初值处进行截断级数展开,并获得其各项在各种函数空间中的平均界。线性化动力学随后涉及一个带有相应随机势的线性薛定谔方程。我们利用图与随机矩阵工具界定 Bourgain 空间中算子范数期望。这为分析非平衡非线性波方程提供了新方法,并让人期望该方法的改进有助于解决该猜想。