离散Hamilton-Jacobi方程的Freidlin-Wentzell解
概率论
2026-01-28 v2 最优化与控制
摘要
我们考虑一族具有指数小转移率的有限不可约马尔可夫链：转移图是一个固定的有限强连通有向图；转移率随参数指数衰减，且每条边上的衰减率不同。对于每个，平稳方程唯一确定了不变测度，但在趋于无穷的极限下，该方程在指数尺度上退化为一个关于不变测度大偏差率函数的离散方程，而该方程通常不具有唯一解。与连续情形的扩散过程类似，我们称该方程为离散Hamilton-Jacobi方程。同样地，我们引入了粘性上解和粘性下解的概念，并详细刻画了该方程解在转移图上Lipschitz函数多面体的特殊面中的几何特征。这对应于纯离散环境下的弱KAM理论。我们还通过矩阵树定理给出的不变测度的组合表示，在极限下识别出一个特殊的消失粘性解。该结果对Freidlin和Wentzell最小树构造所得到的离散Hamilton-Jacobi方程解集给出了一个选择原理，这与连续情形下的结果相呼应。
关键词
引用
@article{arxiv.2501.12505,
title = {Freidlin-Wentzell solutions of discrete Hamilton Jacobi equations},
author = {Michele Aleandri and Davide Gabrielli and Giulia Pallotta},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.12505},
year = {2026}
}