一般 Hamilton-Jacobi 方程的弱 KAM 理论 II:Lipschitz 条件下的基本解

我们考虑以下带有初始条件的演化 Hamilton-Jacobi 方程：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_tu(x,t)+H(x,u(x,t),\partial_xu(x,t))=0,\\ u(x,0)=\phi(x), \end{cases} \end{equation*} 其中$\phi(x)\in C(M,\mathbb{R})$。在关于$H(x,u,p)$对$p$的凸性以及$H(x,u,p)$对$u$的一致 Lipschitz 连续性的某些假设下，我们建立了一个变分原理，并提供了粘性解与某些极小特征线之间的内在联系。通过引入一个隐式定义的\textit{基本解}，我们获得了演化 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的变分表示公式。此外，我们讨论了演化 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的大时间行为，并为关于$u$严格递增的$H(x,u,p)$的静止 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解提供了动力学表示公式。