具有对未知函数递减依赖关系的 Hamilton-Jacobi 方程的弱 KAM 解

我们考虑 Hamilton-Jacobi 方程 $${H}(x,u,Du)=0,\quad x\in M,$$ 其中 $M$ 是一个连通、闭且光滑的 Riemannian 流形，${H}(x,u,p)$ 关于 $p$ 满足 Tonelli 条件，且关于 $u$ 满足特定的递减条件。基于 \cite{WWY,WWY1,WWY2} 中发展的动力学方法，我们得到了定态方程的弱 KAM 解（等价地，粘性解）的一系列性质，以及 Cauchy 问题演化方程粘性解的长时间行为 \begin{equation*} \begin{cases} w_t+{H}(x,w,w_x)=0,\quad (x,t)\in M\times (0,+\infty),\\ w(x,0)=\varphi(x), \quad x\in M. \end{cases} \end{equation*}