接触哈密顿系统的 Aubry-Mather 与弱 KAM 理论。第一部分：严格递增情形

本文研究定义于 $T^*M\times\mathbb{R}$ 上、满足关于 $p$ 的 Tonelli 条件且对某个 $\lambda>0$ 有 $0<\frac{\partial H}{\partial u}\leqslant \lambda$ 的哈密顿量 $H(x,u,p)$ 之接触哈密顿系统的 Aubry-Mather 与弱 KAM 理论，其中 $M$ 为连通、闭且光滑的流形。首先，我们证明相应 Hamilton-Jacobi 方程后向弱 KAM 解的唯一性。利用唯一后向弱 KAM 解 $u_-$，我们证明最大前向弱 KAM 解 $u_+$ 的存在性。接着，我们分析该接触哈密顿系统的 Aubry 集，表明其为两个 Legendrian 伪图 $G_{u_-}$ 与 $G_{u_+}$ 的交，且投影 $\pi:T^*M\times \mathbb{R}\to M$ 诱导出从 Aubry 集 $\tilde{\mathcal{A}}$ 到投影 Aubry 集 $\mathcal{A}$ 的 bi-Lipschitz 同胚 $\pi|_{\tilde{\mathcal{A}}}$。最后，我们引入障碍函数概念并研究其沿校准曲线的有趣性质。我们的分析基于 [43,44] 中的近期方法。