Lax-Oleinik 半群：一种 Hamiltonian 观点

Weak KAM 理论由 Fathi 发展起来，旨在研究凸 Hamiltonian 系统的动力学。它在某种程度上搭建了 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解与 Hamiltonian 系统的 Mather 不变集之间的桥梁，尽管这一点仅在事后才被完全理解。这些理论在凸性假设下收敛，其丰富的应用主要源于这一显著的收敛性。在本课程中，我们对 Weak KAM 理论的一些基本概念进行了初等阐述。在 companion lecture 中，Albert Fathi 阐述了他的理论中与粘性解更直接相关的方面。相反，这里我们专注于动力学应用，即使我们也讨论了一些粘性方面以强调与 Fathi 讲座的联系。关于 Weak KAM 理论的根本参考文献是 Albert Fathi 尚未出版的著作 \textit{Weak KAM theorem in Lagrangian dynamics}。虽然我们没有提供新的结果，但我们的阐述在几个方面具有原创性。我们仅使用 Hamiltonian 而不依赖 Lagrangian，即使某些证明直接受经典 Lagrangian 证明的启发。通过选择某种特定的设定，这种方法变得更容易。我们在 $\Rm^d$ 上工作并对 Hamiltonian 做出一致假设。这允许我们用显式估计替换一些紧性论证。然而，对于最有趣的动力学应用，构型空间的紧性仍然是一个有用的假设，我们通过考虑空间周期 Hamiltonian 来恢复它。我们的阐述围绕 Hamilton-Jacobi 方程的 Cauchy 问题及其相关的 Lax-Oleinik 演化算子展开。通过考虑这些演化算子的不动点（即 Weak KAM 解）来达到动力学应用。演化算子也可用于其正则化性质，这开启了通往动力学应用的第二条途径。