一般 Hamilton-Jacobi 方程的弱 KAM 理论 I:适当条件下的解半群

我们考虑以下带有初始条件的演化 Hamilton-Jacobi 方程：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_tu(x,t)+H(x,u(x,t),\partial_xu(x,t))=0,\\ u(x,0)=\phi(x). \end{cases} \end{equation*} 在关于$H(x,u,p)$对$p$和$u$的某些假设下，我们为演化 Hamilton-Jacobi 方程提供了一个变分原理。通过引入一个隐式定义的解半群，我们将 Fathi 的弱 KAM 理论推广到某些更一般的情形，其中$H$显式依赖于未知函数$u$。作为一个应用，我们证明了带有初始条件的演化 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解渐近趋于以下静止 Hamilton-Jacobi 方程的弱 KAM 解：\begin{equation*} H(x,u(x),\partial_xu(x))=0. \end{equation*}。