通过最小化单调离散化残差来求解 Hamilton-Jacobi 方程

我们建立了一个求解 Hamilton-Jacobi 方程的良定义性与误差估计框架，通过最小化单调有限差分离散化的最小二乘残差来实现。该方法同样可自然应用于二阶椭圆型和抛物型问题。我们证明，在满足适当的单调性条件下，目标函数每个临界点都是唯一的全局最小值，且与离散方案的解相吻合。我们推导了后验误差估计，通过显式可计算常数将近似误差界定为残差大小，并将完整分析推广到以隐式离散化时间导数的时变问题。对线性化系统的谱分析表明，对于恰当的方案，条件数随 $\Delta x^{-1}$ 规模增长；在均匀 ellipticity 条件下，条件数随 $\exp(\Delta x^{-1})$ 规模增长。这些结果量化了在更细的网格上求解优化问题的难度，并激励了使用人工神经网络进行分级多层热启动策略。结合 Barles 和 Souganidis 对单调一致性方案的收敛定理，我们的结果保证在网格细化后所获得的解收敛于唯一粘性解。数值实验表明，该方法在高维 Eikonal 方程、等值面问题以及来自随机微分博弈的具有真实二阶扩散的 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程方程中具有良好的可扩展性。