逼近完全非线性椭圆偏微分方程粘性解的窄模板有限差分方法及其在 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程中的应用

本文提出了一种新的窄模板有限差分方法，用于逼近包括 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程在内的二阶完全非线性椭圆偏微分方程的粘性解。所提出的有限差分方法通过引入一个被称为“数值矩”的关键稳定化与引导项，自然地将一阶问题的 Lax-Friedrichs 方法推广至二阶问题。数值矩利用两个（中心）Hessian 近似之差来解决粘性解潜在的低正则性问题。本文证明了所提出的格式是适定的（即具有唯一解）且在 $l_2$ 范数与 $l_\infty$ 范数下均稳定。本文的亮点在于使用一种新颖的离散比较论证，证明了所提出的格式收敛于底层完全非线性二阶问题的粘性解。本文将 Feng、Kao 与 Lewis 的一维类似方法推广至更高维的设定。文中给出了数值测试，以衡量所提出的有限差分方法的性能并验证本文的收敛结果。