基于 Lyapunov 控制的 Hamilton-Jacobi 方程黏性解的存在性
偏微分方程分析
2025-11-25 v2
摘要
我们给出一种关于 first-order Hamilton-Jacobi 方程（stationary 和 time-dependent）黏性解存在性的新视角。遵循最新的对比原理，我们在一个框架中考虑两个方程的次解和上解，其中两个哈密顿量可视为原始哈密顿量的上半连续上界和下半连续下界。通过 Young 不等式将这些界严格化。此外，这些界以一种方式形式化，以融合 Lyapunov 函数，这使我们能够将部分分析限制在紧凑集内，并处理所考虑控制问题的近最优解。因此，我们可以放宽对控制问题的假设：最显著的是，我们不需要控制路径集合的完备性。此外，这种策略避免了对候选解正则性的先验分析。为完整呈现我们的成果，我们在两种情境中进行展示。首先，我们考虑具有光滑边界的黎曼流形，其中动力学允许“ inward”和“ outward”漂移。边界条件嵌入到哈密顿量本身中。其次，我们考虑满足 Fillipov 微分方程的解，即带有不可导向量场的方程。我们展示了我们的哈密顿量概念利用了在相关联集合值微分包含中不可导性的自然嵌入。
引用
@article{arxiv.2407.12602,
title = {Existence of viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations via Lyapunov control},
author = {Serena Della Corte and Richard C. Kraaij},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.12602},
year = {2025}
}