二维连续高斯自由场的首达集

我们引入了有限连通区域上二维连续高斯自由场（GFF）常值水平 $-a$ 的首达集（FPS）。非正式地说，它是区域中这样一些点的集合：这些点可以通过一条路径连接到边界，且在此路径上 GFF 不低于 $-a$。因此，它是 1 维 Brown 运动首达 $-a$ 时间的二维类比。我们给出了 FPS 的公理化刻画，一种使用水平线的连续构造，并研究了其性质：它是一个 Lebesgue 测度为零且 Minkowski 维数为 2 的分形集，作为局部集 $A$ 与 GFF $\Phi$ 耦合，使得 $\Phi+a$ 限制在 $A$ 上时为一个正测度。本文的亮点之一是利用高斯乘性混沌理论，将该测度识别为非整数标度 $r \mapsto \vert\log(r)\vert^{1/2}r^{2}$ 下的 Minkowski 内容测度。