二维高斯自由场的首达集：收敛性与同构

在先前的一篇文章中，我们引入了有限连通域上二维连续统高斯自由场（GFF）的常数水平 $-a$ 的首达集（FPS）。非正式地说，它是域中可通过一条 GFF 始终大于或等于 $-a$ 的路径连接到边界的点的集合。该描述可作为度量图 GFF 的 FPS 的定义，并证明了其与一维布朗运动首次击中 $-a$ 时间的类比。在本文中，我们证明度量图 FPS 在 Hausdorff 度量下收敛于连续统 FPS。这使我们能够表明连续统 GFF 的 FPS 可表示为布朗游程与布朗环的簇的并，并证明布朗环汤簇在规范 $r\mapsto |\log r|^{1/2}r^2$ 下具有非平凡的 Minkowski 容度。我们还证明了度量图 GFF 的某些自然界面收敛到 SLE$_4$ 过程。