基于计算机辅助证明的 $p$-系统 Liu 容许解有限时间 BV 爆炸

在本文中，我们考虑一维真正非线性双曲系统精确解的有限时间 $BV$ 范数爆炸，特别是 $p$-系统。我们考虑满足激波容许准则（如 Lax E-条件和 Liu E-条件）的解。特别地，我们提出了 Riemann 初始数据，它容许无穷多个有界解，每个解不仅经历有限时间，而且实际上是瞬时的 $BV$ 范数爆炸。该 Riemann 初始数据允许来自状态空间中的一个开集。我们的方法可证明不容许严格凸熵。本文的主要结果与 Jenssen [SIAM J. Math. Anal., 31(4):894--908, 2000] 相比，后者针对一个非真正非线性的人造 $3\times 3$ 系统展示了有界解的 $BV$ 爆炸，或者说是 $L^\infty$ 中的爆炸。Baiti-Jenssen [Discrete Contin. Dynam. Systems, 7(4):837--853, 2001] 改进了这一 Jenssen 的结果，并可以考虑一个真正非线性系统，但此时爆炸仅发生在 $L^\infty$ 中，且他们无法构造在 $BV$ 中爆炸的有界解。此外，他们的系统是非物理的，且可证明不容许全局严格凸熵。我们的结果还显示了关于通过 Liu E-条件的适定性的最近 Bressan-De Lellis 结果 [Arch. Ration. Mech. Anal., 247(6):Paper No. 106, 12, 2023] 的尖锐性。我们定理的证明是计算机辅助的，遵循 Sz\'{e}kelyhidi [Arch. Ration. Mech. Anal., 172(1):133--152, 2004] 的框架。我们的代码可在 GitHub 上获取。