单调似然比下的公平分蛋糕问题

本研究针对经典的分蛋糕问题给出了算法结果，该问题中需要将一种可分割的异质资源（建模为蛋糕）在具有不同偏好的智能体之间进行划分。我们关注一种标准的蛋糕分割形式，其中每个智能体必须获得一块连续的蛋糕。尽管在此设定下寻找公平/高效的蛋糕分割方案存在多个困难性结果，我们证明，若智能体的价值密度满足单调似然比性质（MLRP），则针对各类公平性与经济效率概念均可得到强有力的算法结果。针对具有 MLRP 的蛋糕分割实例，我们首先开发了一种算法，可找到任意精度下无嫉妒的（连块）蛋糕分割方案。我们的算法时间复杂度关于智能体数量以及底层 Lipschitz 常数的比特复杂度为多项式。对于最大化社会（功利主义）福利与平等主义福利，我们也得到了类似的正面结果。此外，我们证明在 MLRP 下，最大化纳什社会福利问题存在一个完全多项式时间近似方案（FPTAS）。许多分布族具有 MLRP。特别地，若所有价值密度属于以下任一分布族，则该性质成立：高斯分布（同方差）、线性分布、二项分布、泊松分布与指数分布。此外，已知任意对数凹函数的线性平移均满足 MLRP。因此，当智能体的价值密度为以下（对数凹）分布的线性平移时，我们的结果同样适用：拉普拉斯分布、伽马分布、贝塔分布、Subbotin 分布、卡方分布、狄利克雷分布与逻辑斯谛分布。从而，通过 MLRP，本工作为多个分布族获得了新颖的蛋糕分割算法。